1. Lý thuyết về tích vô hướng của hai vectơ

1.1. Góc giữa hai vectơ

Góc giữa 2 vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn tương tự góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng. Nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không thì góc giữa hai véc tơ đó không xác định (đôi khi một số tài liệu cũng coi góc giữa hai véc tơ đó...

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 véc tơ bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng:Cho hai vecto $vec{a}=(x_{1};y_{1};z_{1}) , vec{b}=(x_{2};y_{2};z_{2})$. Khi đó:Tích vô hướng của hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$ là:$vec{a}.vec{b}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$

1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó. - Cho đường thẳng d. Ta có vecto $vec{u}$ khác vecto 0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d. - Nếu là VTCP của d thì $k.vec{u}$ cũng là VTCP của d. - VTCP và VTPT vuông góc với nhau. Nên suy ra ta có Nếu: $vec{u}=(a, b)$Thì: $vec{n}= (-b . a)$Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại. - Như vậy ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó.

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1, d2. Gọi $vec{u_{1}}=(a_{1}; b_{1}; c_{1}),vec{u_{2}}=(a_{2}; {b_{2}}; c_{2})$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_{1}, d_{2}$Khi đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức: $Cos (d_{1}, d_{2}) = left |cos(vec{u_{1}}, vec{u_{2}}) right | = frac{u_{1}.u_{2}}{u_{1}.u_{2}} = frac{left |a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2} right |}{sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập về vector ngay

2. Hai đường thẳng vuông góc với nhau

Cùng tìm hiểu hai đường thẳng vuông góc lớp 11 với định nghĩa và tính chất của nó nhé!

2.1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.

2.2. Tính chất

Tính chất hai đường thẳng vuông góc được trình bày như sau:Cho hai đường thẳng a và b có vecto chỉ phương lần lượt là: $vev{u_{1}} , vec_{u_{2}}$- Ta có a vuông góc với b khi và chỉ khi tích vô hướng của vecto chỉ phương hai đường thẳng bằng 0$vec{u_{1}}.vec{u_{2}}=0$. - Nếu a / / b mà c ⊥ a thì c ⊥ b - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

3. Các dạng toán về hai đường thẳng vuông góc

3.1. Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách - Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).Từ O dựng các đường t...

3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là u và v. Ta áp dụng một số cách sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc: 1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng. - từ vuông góc tới song song, - đường trung tr...

4. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.C. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba ...